Spaghettificazione: la fisica di come un buco nero fa a pezzi una stella

Avvicina una stella a un buco nero e, oltre una certa soglia, non orbita più: viene stirata in un filamento di gas e in parte divorata. Il nome tecnico è disruzione mareale (tidal disruption event, TDE); quello informale, attribuito a Stephen Hawking, è spaghettificazione. Nel Playground lo vedi in diretta — qui derivo la fisica che c'è sotto, passo per passo.

Le forze di marea: la gravità non è uniforme

La marea non è una forza nuova: è la differenza di gravità tra due punti di un corpo esteso. La faccia della stella rivolta al buco è più vicina, quindi più attratta, di quella lontana; quella differenza la stira lungo la congiungente con il buco e la comprime nelle altre due direzioni.

Per un corpo di estensione $\Delta r$ a distanza $r$ da una massa $M_\bullet$, l'accelerazione mareale è la derivata del campo gravitazionale moltiplicata per $\Delta r$:

$$a_{\rm marea} \;\approx\; \frac{2\,G M_\bullet}{r^{3}}\,\Delta r$$

Il cuore di tutto è quell'esponente: la marea va come $r^{-3}$, molto più ripida della gravità stessa ($r^{-2}$). Dimezza la distanza e la marea diventa otto volte più forte. Per questo la disruzione è un fenomeno a soglia: lontano è trascurabile, vicino esplode.

Il raggio mareale

La stella si tiene insieme con la propria gravità. Si disgrega quando la marea del buco supera l'autogravità alla sua superficie, che vale circa $G M_\star / R_\star^{2}$. Eguagliandola alla marea $(2 G M_\bullet / r^{3})\,R_\star$ si ricava la distanza critica, il raggio mareale:

$$r_t \;\sim\; R_\star \left(\frac{M_\bullet}{M_\star}\right)^{1/3}$$

Guarda cosa non c'è: le due masse entrano solo come rapporto, ed elevato a un terzo. La densità della stella conta, la sua massa assoluta quasi no. È questa dipendenza debole a produrre il prossimo fatto, controintuitivo.

Stellare contro supermassiccio

Più il buco nero è grande, più la disruzione è «discreta». Il raggio mareale cresce piano, come $M_\bullet^{1/3}$, ma l'orizzonte degli eventi cresce in fretta, come $M_\bullet$ (vale $r_s = 2GM_\bullet/c^{2}$). A un certo punto l'orizzonte sorpassa il raggio mareale. Quindi:

• attorno a un buco nero stellare o di massa intermedia $r_t \gg r_s$: la stella si disgrega ben fuori dall'orizzonte e vediamo il fuoco d'artificio;
• attorno a uno supermassiccio abbastanza grande (oltre ~10⁸ masse solari) $r_t < r_s$: la stella varca l'orizzonte intera, inghiottita senza spettacolo.

C'è un intervallo d'oro di masse — i buchi neri da milioni di masse solari, come Sgr A* — in cui la disruzione avviene proprio fuori dall'orizzonte ed è osservabile.

Lo spread di energia: metà torna, metà fugge

Al momento della rottura la stella ha una sua energia orbitale, ma le sue parti no: il lato vicino al buco è più legato, quello lontano meno. Questo spread di energia specifica tra i detriti è il meccanismo chiave (Rees 1988). Il suo ordine di grandezza è la marea per la dimensione della stella:

$$\Delta\varepsilon \;\approx\; \frac{G M_\bullet R_\star}{r_t^{2}}$$

Circa metà dei detriti resta con energia negativa (legata) e ricadrà verso il buco; l'altra metà con energia positiva (slegata) viene scagliata via in una lunga coda. Nel Playground è proprio questa la differenza che coloro: un braccio che rientra e alimenta il disco, uno che fugge.

La legge di ricaduta t⁻⁵ᐟ³

È il risultato più elegante del fenomeno. I detriti legati tornano su orbite kepleriane, e i più legati tornano per primi. Il tempo di ritorno di un detrito di energia $\varepsilon$ segue la terza legge di Keplero:

$$t(\varepsilon) \;=\; \frac{2\pi\,G M_\bullet}{\left(2\,|\varepsilon|\right)^{3/2}} \qquad\Longrightarrow\qquad |\varepsilon| \,\propto\, t^{-2/3}$$

Se la massa è distribuita in modo circa uniforme nell'energia ($dM/d\varepsilon \approx \text{cost}$, l'ipotesi di Rees), il tasso con cui il gas ricade sul buco è la regola della catena:

$$\dot M_{\rm fb} \;=\; \frac{dM}{d\varepsilon}\,\frac{d\varepsilon}{dt} \;\propto\; t^{-5/3}$$

Quella pendenza $-5/3$ è la firma osservativa dei TDE reali: i brillamenti che i telescopi vedono accendersi e poi spegnersi nel giro di mesi seguono proprio quella curva. È una delle poche previsioni pulite di un fenomeno per il resto caotico.

Cosa fa il Playground (e cosa no)

La simulazione non risolve l'idrodinamica del gas — sarebbe un calcolo da supercomputer. Usa un modello a particelle sopra il potenziale pseudo-newtoniano di Paczyński–Wiita:

$$\Phi(r) \;=\; -\frac{G M_\bullet}{r - r_s}$$

Quel $-r_s$ al denominatore è un trucco notevole: riproduce l'ISCO a $3\,r_s$ e il tuffo finale — gli effetti di campo forte che mancano a Newton — restando abbastanza leggero da girare in tempo reale con decine di corpi.

Quando una stella entra nel raggio mareale, la sciolgo in detriti con lo spread di energia $\Delta\varepsilon$ di sopra: metà ricade e alimenta il disco, metà fugge. La disgregazione è graduale (circa mezzo secondo, non istantanea) e la massa della stella cala mentre viene divorata, così la sua attrazione sugli altri corpi svanisce in modo realistico. Quello che non c'è: gli shock, il riscaldamento per compressione al periastro, la vera dinamica del fluido. È un modello dinamico onesto, non una soluzione idrodinamica.

I dettagli numerici e le altre approssimazioni sono nella pagina delle equazioni. Fonti: Hills (1975) e Rees (1988) per la disruzione e la legge $t^{-5/3}$; Paczyński & Wiita (1980) per il potenziale.

Prova il Playground → · Le equazioni →