Spaghettificazione: una stella fatta a pezzi

Avvicina una stella a un buco nero e, oltre una certa soglia, non orbita più: viene stirata in un filamento di gas e in parte divorata. Il nome tecnico è disruzione mareale (tidal disruption event, TDE); quello informale, attribuito a Stephen Hawking, è spaghettificazione. Nel Playground lo vedi in diretta: qui derivo la fisica che c'è sotto, passo per passo.

Le forze di marea: la gravità non è uniforme

La marea non è una forza nuova: è la differenza di gravità tra due punti di un corpo esteso. La faccia della stella rivolta al buco è più vicina, quindi più attratta, di quella lontana; quella differenza la stira lungo la congiungente con il buco e la comprime nelle altre due direzioni.

Per un corpo di estensione $\Delta r$ a distanza $r$ da una massa $M_\bullet$, l'accelerazione mareale è la derivata del campo gravitazionale moltiplicata per $\Delta r$:

$$a_{\rm marea} \;\approx\; \frac{2\,G M_\bullet}{r^{3}}\,\Delta r$$

Il cuore di tutto è quell'esponente: la marea va come $r^{-3}$, molto più ripida della gravità stessa ($r^{-2}$). Dimezza la distanza e la marea diventa otto volte più forte. Per questo la disruzione è un fenomeno a soglia: lontano è trascurabile, vicino esplode.

Il raggio mareale

La stella si tiene insieme con la propria gravità. Si disgrega quando la marea del buco supera l'autogravità alla sua superficie, che vale circa $G M_\star / R_\star^{2}$. Eguagliandola alla marea $(2 G M_\bullet / r^{3})\,R_\star$ si ricava la distanza critica, il raggio mareale:

$$r_t \;\sim\; R_\star \left(\frac{M_\bullet}{M_\star}\right)^{1/3}$$

Guarda cosa non c'è: le due masse entrano solo come rapporto, ed elevato a un terzo. La densità della stella conta, la sua massa assoluta quasi no. È questa dipendenza debole a produrre il prossimo fatto, controintuitivo.

Stellare contro supermassiccio

Più il buco nero è grande, più la disruzione è «discreta». Il raggio mareale cresce piano, come $M_\bullet^{1/3}$, ma l'orizzonte degli eventi cresce in fretta, come $M_\bullet$ (vale $r_s = 2GM_\bullet/c^{2}$). A un certo punto l'orizzonte sorpassa il raggio mareale. Quindi:

• attorno a un buco nero stellare o di massa intermedia $r_t \gg r_s$: la stella si disgrega ben fuori dall'orizzonte e vediamo il fuoco d'artificio;
• attorno a uno supermassiccio abbastanza grande (oltre ~10⁸ masse solari) $r_t < r_s$: la stella varca l'orizzonte intera, inghiottita senza spettacolo.

C'è un intervallo d'oro di masse (i buchi neri da milioni di masse solari, come Sgr A*) in cui la disruzione avviene proprio fuori dall'orizzonte ed è osservabile.

Lo spread di energia: metà torna, metà fugge

Al momento della rottura la stella ha una sua energia orbitale, ma le sue parti no: il lato vicino al buco è più legato, quello lontano meno. Questo spread di energia specifica tra i detriti è il meccanismo chiave (Rees 1988). Il suo ordine di grandezza è la marea per la dimensione della stella:

$$\Delta\varepsilon \;\approx\; \frac{G M_\bullet R_\star}{r_t^{2}}$$

Circa metà dei detriti resta con energia negativa (legata) e ricadrà verso il buco; l'altra metà con energia positiva (slegata) viene scagliata via in una lunga coda. Nel Playground è proprio questa la differenza che coloro: un braccio che rientra e alimenta il disco, uno che fugge.

La legge di ricaduta t⁻⁵ᐟ³

È il risultato più elegante del fenomeno. I detriti legati tornano su orbite kepleriane, e i più legati tornano per primi. Il tempo di ritorno di un detrito di energia $\varepsilon$ segue la terza legge di Keplero:

$$t(\varepsilon) \;=\; \frac{2\pi\,G M_\bullet}{\left(2\,|\varepsilon|\right)^{3/2}} \qquad\Longrightarrow\qquad |\varepsilon| \,\propto\, t^{-2/3}$$

Se la massa è distribuita in modo circa uniforme nell'energia ($dM/d\varepsilon \approx \text{cost}$, l'ipotesi di Rees), il tasso con cui il gas ricade sul buco è la regola della catena:

$$\dot M_{\rm fb} \;=\; \frac{dM}{d\varepsilon}\,\frac{d\varepsilon}{dt} \;\propto\; t^{-5/3}$$

Quella pendenza $-5/3$ è la firma osservativa dei TDE reali: i brillamenti che i telescopi vedono accendersi e poi spegnersi nel giro di mesi seguono proprio quella curva. È una delle poche previsioni pulite di un fenomeno per il resto caotico.

Cosa fa il Playground (e cosa no)

La simulazione non risolve l'idrodinamica del gas, sarebbe un calcolo da supercomputer. Usa un modello a particelle sopra il potenziale pseudo-newtoniano di Paczyński–Wiita:

$$\Phi(r) \;=\; -\frac{G M_\bullet}{r - r_s}$$

Quel $-r_s$ al denominatore è un trucco notevole: riproduce l'ISCO a $3\,r_s$ e il tuffo finale (gli effetti di campo forte che mancano a Newton) restando abbastanza leggero da girare in tempo reale con decine di corpi.

Quando una stella entra nel raggio mareale, la sciolgo in detriti con lo spread di energia $\Delta\varepsilon$ di sopra: metà ricade e alimenta il disco, metà fugge. La disgregazione è graduale (circa mezzo secondo, non istantanea) e la massa della stella cala mentre viene divorata, così la sua attrazione sugli altri corpi svanisce in modo realistico. Quello che non c'è: gli shock, il riscaldamento per compressione al periastro, la vera dinamica del fluido. È un modello dinamico onesto, non una soluzione idrodinamica.

I dettagli numerici e le altre approssimazioni sono nella pagina delle equazioni. Fonti: Hills (1975) e Rees (1988) per la disruzione e la legge $t^{-5/3}$; Paczyński & Wiita (1980) per il potenziale.

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